Infinito, ni más, ni menos

¿Qué sucede cuando n tiende a infinito? pues que infinito se seca.

Después de este chistecillo que escuché por primera vez en mi primer año de carrera, vamos a dar alguna pincelada sobre un concepto tan abstracto como es el infinito.

Infinito es un concepto que se puede abordar desde distintos puntos de vista, ya que podemos mirar hasta donde nos alcance la vista una noche estrellada y asimilarlo con mirar al infinito, o podemos hacer referencia a algo cuya cantidad no tiene límite en contraposición al término finito, pero sin duda el aspecto matemático es el más extenso.

Hay muchas demostraciones de conjuntos que son infinitos (los números pares, los números impares, los números primos, etc. ) y el uso de estos conjuntos dan lugar a algunas divagaciones interesantes.

Existen varias paradojas sobre el infinito, pero voy a exponer una que leí en su día en el libro Los números primos: un largo camino al infinito (Enrique Gracián) en el que se utilizan los números primos como guía para dar un repaso a la historia de las matemáticas.

La paradoja es conocida como el hotel de Hilbert (considerado el matemático más ha influido en la Geometría después de Euclides), donde un hotel hipotético posee un número infinito de habitaciones. Los dueños del hotel se enorgullecen de no dejar nunca a un cliente colgado. La situación se complica cuando una noche, estando el hotel al completo, se presenta un nuevo cliente sin avisar. El conserge le dice al gerente que no pueden acogerle, a lo que el gerente le responde “hable con todos los huéspedes que están alojados y dígales que se han de cambiar de habitación, han de ocupar la siguiente: el de la 1 ocupará la 2, el de la 2 la 3…el de la n la n+1″. Una vez terminada la “mudanza”, queda libre la habitación número 1, en la que el puede entrar en nuevo cliente.

David Hilbert

David Hilbert

Todo solucionado…hasta que llega la medianoche y el conserje llega preocupado al gerente, su cara denota una cierta desesperación. Acaba de llegar un conjunto infinito de matemáticos que acuden a un congreso al hotel. “¿Cómo vamos a alojarlos a todos?”, le pregunta el conserje al gerente. El gerente no se inmuta, y tras una breve reflexión le dice lo siguiente: “Debemos de pedir un nuevo esfuerzo a nuestros clientes actuales. Cada uno de ellos debe multiplicar por 2 el número de la habitación en la que está alojado y trasladarse al número resultante de esa multiplicación”. Así el huésped de la habitación número 1 irá a la 2=1*2, el de la 2 irá a la 4=2*2 y así sucesivamente (el de la habitación n irá a la n*2). Después de este traslado, la situación del hotel es la siguiente, estarán ocupadas sólo habitaciones con número par, por lo que las habitaciones impares quedan disponibles. Y como el conjunto de números impares es infinito, ya hay sitio para todos los matemáticos que van al congreso.

Sea como fuere, la lemniscata, si es que la realmente este tipo de curva es el origen del símbolo, está presente en nuestras vidas, no hay más que irse a la costa y mirar al horizonte…mirar al infinito.

Publicado por Güevo el 12 septiembre, 2011 en Monografías | Lee el primer comentario

  • 12 septiembre, 2011, 19:31
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